Stølum e os rios

"Nenhum homem pode banhar-se duas vezes no mesmo rio… pois, na segunda vez, o rio já não é o mesmo, tampouco o homem." Heráclito de Éfeso.

"Os rios atravessam nossas civilizações como fios em um colar de pérolas”, escreveu Olivia Laing. "Há um mistério nos rios que nos atrai, pois eles nascem de lugares escondidos e percorrem as rotas que nem sempre serão as mesmas."

"O tempo é um rio que me arrasta, mas eu sou o rio." JL Borges

"Os rios que atravessam uma cidade também atravessam a infância de quem cresce nela." Renata Rossi

"Conheci rios tão antigos quanto o mundo e mais antigos que o fluxo do sangue nas veias humanas. Minha alma se aprofundou como os rios." Langston Hughes

"Rio, caminho que anda e vai resmungando talvez uma dor." Luís Antônio, em "Eu e o rio"

Em 1996, o geólogo da Universidade de Cambridge, Hans-Henrik Stølum, publicou um artigo anunciando sua descoberta surpreendente de que pi também impulsiona, sempre impulsiona, os caminhos sinuosos dos rios do mundo a continuarem seus meandros aparentemente caóticos — em um padrão matematicamente previsível. Sua simulação, usando dados empíricos e modelagem de dinâmica de fluidos, descobriu que os caminhos oscilantes dos rios — sua sinuosidade, calculada dividindo-se o comprimento real dos meandros do rio pelo comprimento da linha reta traçada da nascente ao mar — têm uma média de 3,14.

O homem que amava os números

O FBI passou décadas rastreando o matemático Paul Erdös, apenas para concluir que o cara realmente gostava de matemática.
https://www.muckrock.com/news/archives/2015/jul/21/nothing-indicate-nothing-indicate-subject-had-any-/
Um húngaro nascido no início do século XX, Paul Erdös, matemático, era bem conhecido e querido, o tipo de cientista excêntrico da esfera soviética que fazia os ouvidos dos federais se animarem na América nos meados do século. Sua vida gerou mais de 500 artigos acadêmicos e um culto de colaboradores. O número Erdös se tornou um distintivo de mérito matemático e, para aqueles que não possuem um cobiçado número de Erdős de 1, há recursos para determinar quantos graus de separação de celebridades existem entre o próprio homem e outros autores de artigos técnicos.
Mas, por mais que tentassem, o Federal Bureau of Investigation nunca conseguiu encontrar muita motivação por trás de seus movimentos, além da matemática em tudo isso.
Suas críticas políticas se aplicavam igualmente a ambos os lados da multidão da Guerra Fria.
Acreditava-se que ele valorizava mais a abertura em prol da humanidade do que o sigilo.
E, mesmo depois de décadas sob a supervisão do FBI, a avaliação geral do Bureau era que Erdös (antena parabólica), na pior das hipóteses, era um nerd inescrutável - "puramente um matemático com uma mente atmosférica típica em relação a coisas factuais..."
Seu primeiro encontro com as autoridades, em 1941, é lembrado como um acidente causado por uma curiosa incursão em uma torre de rádio secreta.
"Veja bem, eu estava pensando em teoremas matemáticos", em vez da placa de "Entrada Proibida", ele explicou mais tarde, depois que ele e outros dois foram presos como suspeitos de espionagem.
A correspondência com um professor de matemática da China comunista reacendeu o interesse em Erdös, que passou os anos seguintes assumindo cargos de ensino e dando aulas por todo o país. O relacionamento não revelou nenhuma base nefasta. Ele levantou suspeitas ao se recusar a fazer um juramento de lealdade e foi identificado como um dos poucos cidadãos húngaros não diplomáticos com um passaporte válido, mas isso foi explicado por sua filosofia acadêmica e utilidade como um troféu intelectual húngaro.
Ainda assim, Erdös começou a ter dificuldades para renovar seu visto, primeiro no outono de 1951, conforme ele relatou no Boletim de Cientistas Atômicos.
Então, em 1954, ele foi novamente impedido de entrar no país pelo Serviço de Imigração e Naturalização, uma situação na qual o FBI aparentemente não estava envolvido.
Cinco anos depois, ele recebeu um visto temporário a pedido do senador Hubert Humphrey, futuro vice-presidente, e foi determinado que, sem qualquer suspeita, novas investigações não deveriam ocorrer.
No entanto, o FBI continuou a vigiar Erdös, repetidamente descrito como alguém cuja propensão a bancar o advogado do diabo não sugeria traição, mas sim uma apreciação pela liberdade, mental e política.
Enquanto o governo dos Estados Unidos importava cientistas do Eixo para uso americano, o matemático húngaro falhou em produzir muita forragem para os militares ou para a polícia doméstica. Sua vigilância do FBI, então, parece pouco mais do que uma maneira inteligente de colocar o nome de J. Edgar Hoover em um artigo com Paul Erdös.
Leia o arquivo completo (233 páginas) aqui: https://cdn.muckrock.com/foia_files/1221372-0-105-HQ-12444-Section_1.PDF.

Escrito por Beryl Lipton. Tradução; PGCS

Paul Erdös também gostava de conversar com crianças ‒ especialmente, aquelas que demonstravam interesse em matemática. Chamava as crianças de "épsilons" (letra grega ε), usada para representar quantidades muito pequenas em matemática.

Como evitar um dilema matemático

E garantir que todos estejam na mesma página (ou: tirem a mesma conclusão):

https://archimedes-lab.org/2025/03/01/6-or-9-dilemma/

A cama de faquir da probabilidade

Em um capítulo (de Os Simpsons), Marge Simpson decide levar sua família ao Museu de Ciência. Ali, Bart e Lisa Simpson contemplam um tabuleiro de Galton, um dispositivo formado por um tabuleiro vertical perfurado com pregos, como a cama de um faquir, pelo que caem bolas. O aparelho, concebido pelo inventor britânico Francis Galton no final do século XIX, gera uma série de ocorrências aleatórias: cada bola tem 50% de probabilidades de cair de um lado ou de outro de cada prego. Ao soltar uma bola, é impossível saber onde cairá. No entanto, ao deixar cair muitas bolas, pode-se prever com precisão onde terminará a maioria: elas formarão uma curva de sino (de distribuição normal).

Onde ver o tabuleiro de Galton em áudio/vídeo WebM com duração de 15 s. 

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Galton_box.webm

O tabuleiro de Galton preside a Sala da Probabilidade do Museu de Ciência, na qual um vídeo do matemático francês Blaise Pascal, do século XVII, instrui os Simpsons: "Ah, olá. Sou Blaise Pascal, o inventor da teoria da probabilidade. Quais eram as probabilidades de conhecê-los aqui? Excelentes, eu diria", comenta ele, após lançar uma moeda ao ar. "Meu amigo, o Esquilo Tonto, está a ponto de comprar um bilhete de loteria. Esquilo Tonto, você sabe a probabilidade de ganhar a loteria? Bem, é mais provável que você seja atropelado por um carro. Ou atingido por um raio. Ou assassinado por um conhecido. Se você entendeu a probabilidade, nunca jogará na loteria."

(https://brasil.elpais.com/brasil/2015/04/30/ciencia/1430420317_959498.html)

Matemática por cegos

Nicholas Saunderson, um ilustre matemático inglês que sucedeu a Isaac Newton na Universidade de Cambridge no século XVIII, era totalmente cego desde os oito anos de idade. Em outras palavras, toda a matemática de alto nível que ele dominava com perfeição, ele aprendeu sem ver, apenas pela força de sua visão interior.

"Fazer matemática significa aprender a fazer malabarismos mentalmente. (…) Em matemática, tudo acontece no cérebro. Portanto, não é necessário ver de verdade". É o que afirma Emmanuel Giroud, um cego que é também um imenso matemático contemporâneo, que parafraseia muito bem "O Pequeno Príncipe" de Saint Exupéry: na matemática, diz-nos Giroud, o essencial é invisível aos olhos. Só vemos claramente com a mente.

"Eu (Stanislas Dehaene), que bombardeei grupos de estudantes com o meu "não acredito no que vejo, acredito no que entendo" (batendo o pé como o coelhinho Tambor no final da frase), fiquei obviamente sensível a este discurso."

http://clairelommeblog.fr/2024/08/11/on-ne-voit-bien-quavec-lesprit/

Momentos matemáticos nos Simpsons

Há 25 anos, teria sido difícil prever a que iriam se dedicar J. Stewart Burns, Al Jean e Ken Keeler, todos matemáticos formados pela Universidade Harvard (EUA), e David X. Cohen e Jeff Westbrook, ambos físicos pela mesma universidade. Os cinco são roteiristas de Os Simpsons, uma sátira do modo de vida norte-americano nascida em 1989 que se tornou uma das séries de televisão mais bem-sucedidas da história.
"A quantidade de questões matemáticas que aparecem nos Simpsons tende ao infinito", assinala Marta Martín, da Faculdade de Matemática da Universidade de Oviedo. Ela e outros colegas, como Abel Martín, professor de Matemática em um instituto de Oviedo, fazem seminários sobre Os Simpsons para crianças e adolescentes de centros de ensino nas Astúrias. "Eles saem encantados com os momentos matemáticos protagonizados pelos personagens amarelos", resume Marta Martín, que colabora com a Real Sociedade Matemática Espanhola na divulgação dessa ciência.

Diagrama

Surpreendentemente, este diagrama apresenta 4 representações distintas que transmitem o mesmo valor.
Isso inclui uma porcentagem (75%), uma expressão fracionária (3/4), uma notação decimal (0,75) e uma representação visual (3 de 4 caixas azuis preenchidas).

https://archimedes-lab.org/2023/09/21/math-humor-with-diagrams/

Os coelhos de Fibonacci

Este problema vem sendo estudado há muito tempo. Se definirmos f(0) = 0 e f(1) = 1, temos uma série de números chamada sequência de Fibonacci, em homenagem ao italiano Leonardo Pisano Bigollo Fibonacci . Ele propôs essa sequência em seu livro publicado em 1202, o Livro do Cálculo. Se você entende latim, pode ler Liber Abaci online. O livro abrange muitos tópicos, incluindo frações egípcias, cálculo de juros e aproximações de raiz quadrada. Ainda mais importante do que o problema que discutiremos é o sistema numérico. Fibonacci promoveu o sistema de números hindi-árabe, nosso sistema moderno, sobre o romano I, V, X e outros. Embora ele não tenha sido o primeiro, seu livro fez uma grande diferença no uso europeu de 0 a 9.
Deixando a história do zero para outra oportunidade, veremos o problema de acasalamento dos coelhos de Fibonacci. Digamos que os coelhos sejam capazes de acasalar com um mês de idade e a gravidez demore um mês. Assim, ao final do segundo mês, uma fêmea pode produzir outro casal de coelhos. Coelhos nunca morrem, e um par de acasalamento sempre produz um novo par (um macho, uma fêmea) a cada mês a partir do segundo mês. O quebra-cabeça que Fibonacci colocou foi: se começarmos com um novo par desde o nascimento, quantos pares haverá em um ano?
As circunstâncias e restrições não são realistas, embora a gravidez de coelhos realmente dure cerca de um mês e as coelhas possam engravidar novamente dentro de alguns dias após o parto. As ninhadas de nascimento nem sempre são exatamente 2, pois geralmente são mais. Além disso, os coelhos acabam morrendo. Ainda assim, esta não é uma situação tão irrealista no curto prazo.
Para resolver o problema de Fibonacci, vamos fazer f(n) ser o número de pares durante o mês n. Por convenção, f(0) = 0. f(1) = 1 para nosso novo primeiro par. f(2) = 1 também, pois a concepção acabou de ocorrer. O novo par nasce no final do mês 2, então durante o mês 3, f(3) = 2. Apenas o par inicial produz descendentes no mês 3, então f(4) = 3. No mês 4, o par inicial e o par do mês 2 se reproduz, então f(5) = 5. Podemos proceder desta forma, apresentando os resultados em uma TABELA.
Ao final de 1 ano, teremos 144 pares de coelhos. Ao final de 3 anos, teremos mais de 14 milhões de pares. E levaríamos apenas 49 meses para ter mais de 7 bilhões de pares, um par para cada ser humano vivo. Talvez seja bom que os coelhos de Fibonacci não sejam reais.

Jim Wilson, The University of Georgia

A palavra matemática vem da palavra grega mathema, que significa conhecimento ou aprendizado. E, de fato, a matemática está no centro de quase todos os processos e padrões que ocorrem no mundo moderno, mas muitos ainda acham a disciplina difícil de entender. Fibonacci's Rabbits resolve esse problema em pequenos saltos, descrevendo as 50 descobertas mais críticas e momentos revolucionários na história da matemática desde a Grécia Antiga até os dias atuais.

Os coelhos brancos da matemática

Uma das coisas que me surpreendem, e acho que à maioria das pessoas que são atraídas pela matemática, é a maneira misteriosa como as diferentes partes da matemática se juntam de maneiras inesperadas. Eu tentei explicar isso a alguém uma vez usando uma analogia literária ...

"É como se você estivesse lendo um grande drama, ou tentando entender a mensagem em algum grande poema, e de repente o Coelho Branco de Alice no País das Maravilhas vem correndo resmungando: "Nossa! Oh céus! Eu devo chegar muito tarde!"

Não é o Coelho Branco que você vê na matemática, mas o efeito é o mesmo. Euler deve ter sentido essa sensação depois de se esforçar para encontrar o valor da série 1/1² + 1/2² + 1/3²⁺ + . . . e descobre que é π²/6.
Espere .... π é a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, mas não há círculos na soma dos quadrados dos recíprocos dos inteiros; e, no entanto, aí está, o coelho branco matemático vindo aparentemente de lugar nenhum. Certamente, nenhum dos muitos matemáticos de grande reputação que trabalharam no problema encontrou (ou esperava) que o π aparecesse.
A distribuição normal é outro exemplo. De Moivre pega a distribuição de probabilidade binomial para lançar uma moeda e a generaliza para um número infinito de lançamentos, e PAM!, eis a curva normal, ou em forma de sino, que é onipresente nas estatísticas de introdução. E o que acontece? Bem ali no meio, a altura da curva normal em Z = 0 é .39894. NÃO, NÃO, NÃO, NÃO APENAS .39894, mas .39894, que é exatamente igual a: 1 sobre raiz quadrada de 2π.

A matemática tem desses coelhos brancos em todos os lugares.

Pats' Blog

Parece difícil, mas é fácil

Este problema que foi resolvido pelo matemático húngaro-americano John von Neumann:

Dois ciclistas a 30 quilômetros de distância começam a pedalar um em direção ao outro a 15 km/h. No instante em que eles começam, uma mosca começa a ir e voltar entre um e outro a 30 km/h. Quando os ciclistas se encontrarem, qual a distância total que a mosca terá percorrido?

Um estudante apresentou esse problema ao matemático, que instantaneamente deu a resposta correta: 

— 30 quilômetros.
— Certo — disse o aluno. Sabe, a maioria das pessoas não percebe que os ciclistas se encontrarão em uma hora, então a mosca terá que ter voado 30 quilômetros. Em vez disso, elas acham que precisam somar uma série infinita para chegar ao resultado.
— Mas foi isso que eu fiz — respondeu von Neumann.

A lousa esférica

Você pode usar uma lousa esférica para muitas coisas, incluindo o ensino de coordenadas geográficas, como modelo para um Universo fechado ou simplesmente como uma forma matemática.
Na geometria não euclidiana da esfera, um círculo terá uma circunferência maior que 2πr e uma área maior que πr2. Os ângulos de um triângulo somarão mais de 180°, e duas linhas paralelas, chamadas de grandes círculos, irão convergir.

Em um artigo de 1899 para a Society for the Promotion of Engineering Education, o professor Arthur E Haynes, da Universidade de Minnesota, escreveu um artigo sobre a montagem e o uso de um quadro-negro esférico, que incluía a imagem acima (Pat's Blog).

Quanto é 1+1?

Quando o professor resolve complicar ...

O meu sonho era ter, além do conhecimento da matemática, uma lousa dessas.

Desdobramentos da matemática

No trabalho:

Chefe esperto + Empregado esperto = Lucro
Chefe esperto + Empregado burro = Produção
Chefe burro + Empregado esperto = Promoção
Chefe burro + Empregado burro = Hora-extra

No amor:

Homem esperto + Mulher esperta = Romance
Homem esperto + Mulher burra = Caso
Homem burro + Mulher esperta = Casamento
Homem burro + Mulher burra = Gravidez não planejada

Créditos

— Michael I. Hartley e Dimitri Leemans, "Quotients of a Universal Locally Projective Polytope of Type {5, 3, 5}", Mathematische Zeitschrift 247:4 (2004), 663-674.
Arquivo PDF: http://arxiv.org/pdf/math/0307075.pdf (p.8)

O primeiro autor gostaria de reconhecer e agradecer a Jesus Cristo, por meio de quem todas as coisas foram feitas, pelo encorajamento, inspiração e sugestões ocasionais que foram necessárias para completar este artigo. O segundo autor, entretanto, nega especificamente esse reconhecimento. O segundo autor gostaria de agradecer o apoio financeiro do Fundo Nacional Belga para Pesquisa Científica, que tornou este projeto viável. Ambos os autores reconhecem com gratidão os comentários úteis feitos por Buekenhout em um rascunho deste artigo.

Arquivo EM: Eu também quero creditar

Um novo estudo matemático do Mal

Filósofos, teólogos e muitos outros têm buscado uma definição inequívoca do Mal, por pelo menos 2 mil anos.
Talvez um matemático possa ajudar.
Francisco Parro, que é professor associado de Economia, da Universidad Adolfo Ibañez, no Chile, dá passos nesse sentido em seu último artigo: O problema do Mal: Uma abordagem econômica [ref: Kyklos Journal (visão inicial)]

Se os desdobramentos da nova abordagem não forem imediatamente evidentes no resumo do artigo, uma versão completa do estudo pode ser visualizada aqui.
(http://www.improbable.com/2021/09/27/evil-the-math-new-study/)

A beleza na matemática - 7

Às vezes, é só o caso de pôr os óculos:

Série dos links naturais: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}

Da sequência de Fibonacci à proporção áurea

Fibonacci não criou a chamada sequência de Fibonacci. Era conhecida pelos matemáticos indianos já em Pingalia, antes de 200 aC. O Liber Abaci, de Fibonacci (1202), incluiu a famosa sequência.

É uma sucessão de números que obedecem um padrão em que cada elemento subsequente é a soma dos dois anteriores.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584...
http://matematicazup.com.br

Mas parece que ele nunca percebeu que a proporção de termos consecutivos da sequência se aproximaria de outra proporção bem conhecida. Luca Pacioli deu o nome de Divina Proportione (Proporção Divina) a seu livro de 1509 sobre esta proporção, ilustrado por Leonardo da Vinci. E Leonardo usou pela primeira vez o nome "ouro" para a proporção, ao usar o latim "secto aurea" (seção dourada). Em inglês, o primeiro uso não ocorreu até que o matemático James Sulley o empregasse em 1875, de acordo com Alfred Posamentior. E foi o matemático Simon Jacob (falecido em 1564) o primeiro a observar que os números de Fibonacci consecutivos convergem para a proporção áurea; e isso foi redescoberto por Johannes Kepler em 1608.

WIKI

Vídeo PROPORÇÃO ÁUREA

Usando a proporção áurea para converter milhas em quilômetros

Pitágoras x Einstein

A luta das eras: aC x dC

Quem fica com c²?

Se e somente se

Em lógica e campos relacionados, como matemática e filosofia, se e somente se (if and only if, abreviado como "iff ",em inglês; e abreviado como "sse", em português) é um conetivo lógico bicondicional entre afirmações, onde ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.
Símbolos: ↔ ⇔ ≡
Os autores de um livro de matemática (Discrete Algorithmic Mathematics) sugerem a utilização de um alongamento consonantal para o caso:

Se você precisar pronunciar "iff", segure realmente os "efes" para que as pessoas percebam a diferença de "if'".

Figura oculta

Há 1 ano (24 de fevereiro) ...
Morria, aos 101 anos, a matemática negra Katherine Johnson. Em meio à segregação racial nos EUA, seu trabalho na @nasa ajudou a colocar em órbita a Apollo 11, nave que levou o homem à Lua.
Sua história, depois de décadas de invisibilidade, foi contada no filme "Hidden Figures" (Estrelas Além do Tempo).