EntreMentes: Marjorie Rice e seus pentágonos

30 dezembro, 2015

Marjorie Rice e seus pentágonos

Pavimentação de superfície por polígonos
Recobrir uma superfície plana com peças poligonais constitui uma das atividades mais antigas realizadas pelo homem.
Kepler foi o primeiro a estudar pavimentações do plano utilizando polígonos regulares. Em seus estudos, observou que polígonos regulares idênticos pavimentam perfeitamente um plano apenas se seus ângulos internos forem um divisor de 360.
O triângulo equilátero pode realizar uma pavimentação porque cada um de seus ângulos internos mede 60º (divisor de 360). O quadrado e o hexágono regular também pavimentam um plano porque possuem ângulos internos respectivamente iguais a 90 e a 120.
Pentágonos regulares não pavimentam um plano sem sobreposições ou cortes porque seus ângulos internos medem 108, que não é um divisor de 360. O triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular são os únicos polígonos regulares capazes de pavimentar o plano. Pavimentações como essas são chamadas de periódicas uma vez que recobrem o plano repetindo um mesmo padrão.

Na imagem acima está a 15ª maneira de dispor pentágonos irregulares sem deixar sobras de espaço. Foi descoberta em 2015 por uma equipe de matemáticos usando para isso um algoritmo de computador. A anterior havia sido descoberta há 30 anos (1985). Mas a 13ª, descoberta cinco antes, é a que tem a história mais interessante, uma vez que não foi descoberta por um matemático, mas por uma dona de casa de San Diego, Marjorie Rice.
Marjorie não tinha uma educação matemática além do ensino médio. Mas, Marjorie estava sempre interessada em matemática. Quando seus filhos estavam todos na escola, Marjorie começou a estudar e resolver problemas de matemática para se divertir. Um deles tinha uma assinatura da "Scientific American", e Marjorie gostava de ler os artigos de Martin Gardner. Um dia, em 1975, ela leu um artigo que Martin Gardner escreveu sobre uma nova maneira de pavimentação com o pentágono. Até 1968, os matemáticos acreditavam que havia apenas cinco diferentes tipos de pentágonos que poderiam cobrir uma superfície plana sem deixar lacunas (em "telha de avião"). Mas, em 1968, mais três (6, 7 e 8) foram descobertas, e, em 1975, uma quarta (9) fora encontrada -. a que Martin Gardner relatou em seu artigo. Quando leu isso, Marjorie ficou curiosa sobre se ela poderia encontrar o seu próprio novo tipo de pentágono. Então, ela começou a trabalhar. Ela criou a sua própria notação para as relações entre os ângulos de seus pentágonos. Sua nova notação a ajudou a ver as coisas de maneiras que os matemáticos profissionais tinham negligenciado. E, finalmente ... ela encontrou um (10)!
Marjorie escreveu a Martin Gardner para contar a ele sobre sua descoberta. Em 1977, Marjorie já havia descoberto mais três tipos de pentágonos que pavimentam o plano (11, 12 e 13) e seu novo amigo, o matemático Doris Schattschneider, tinha publicado um artigo sobre o trabalho de Marjorie em "Mathematics Magazine".
Marjorie tem um site chamado Intriguing Tessellations em que ela escreveu sobre o seu trabalho e postou algumas das suas obras. Aqui está um de seus pentágonos transformado em um mosaico de peixes (V. slideshow). Ela comemorou seu 90º aniversário este ano e vive com sua filha na Califórnia. Marjorie não é mais capaz de responder a perguntas sobre suas pavimentações. Esperamos que você goste desse website que caracteriza seu trabalho.
Conclusão

Há atualmente quinze tipos diferentes de pentágonos conhecidos por "telha de avião". Mas... há mais? Ninguém sabe ao certo. Existindo, ou não, mais tipos de pentágonos que pavimentam o plano com perfeição aqui temos o que os matemáticos chamam um problema em aberto. Talvez você possa encontrar um novo tipo – ou provar que ele não pode ser encontrado!