Momentos em que os ponteiros do relógio se sobrepõem

Neste vídeo do Numberphile, o professor Cliff Stoll explica (em inglês) a solução para um problema clássico: calcular os momentos exatos em que os ponteiros de um relógio se sobrepõem após uma revolução completa começando às 12:00.
Às 12:00, os ponteiros se sobrepõem por definição. Às 13:00, o ponteiro dos minutos retornou à posição de 12 horas, mas o ponteiro das horas já está na posição 1. Portanto, o ponteiro dos minutos precisa percorrer esse curto trecho de "cinco minutos"... Mas isso fará com que o ponteiro das horas se mova um pouco durante esses cinco minutos, então...
Após uma primeira reflexão, fica claro que a solução pode não ser tão óbvia quanto parece; após uma segunda reflexão, parece que o problema é como o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, que filósofos, lógicos e matemáticos ponderaram tantas vezes desde Zenão de Eleia até os dias atuais.
Solução:
Em uma revolução completa de 12 horas, basta contar que os ponteiros das horas e dos minutos se cruzam exatamente onze vezes e levam sempre o mesmo tempo. Portanto, eles se cruzam a cada 12/11 horas = 65,45… minutos = 1 hora, 5 minutos e 27,2727… segundos.

Poemas em forma de árvores decíduas

Um problema comum ao escrever poemas em forma de árvores decíduas é que, uma vez que cheguem os primeiros movimentos da nova brisa de outono, os poemas começam a ser sacudidos até que suas letras se soltem como folhas, caiam e depois se transformem em cogumelos no chão (tradução: PGCS).

Parece difícil, mas é fácil

Este problema que foi resolvido pelo matemático húngaro-americano John von Neumann:

Dois ciclistas a 30 quilômetros de distância começam a pedalar um em direção ao outro a 15 km/h. No instante em que eles começam, uma mosca começa a ir e voltar entre um e outro a 30 km/h. Quando os ciclistas se encontrarem, qual a distância total que a mosca terá percorrido?

Um estudante apresentou esse problema ao matemático, que instantaneamente deu a resposta correta: 

— 30 quilômetros.
— Certo — disse o aluno. Sabe, a maioria das pessoas não percebe que os ciclistas se encontrarão em uma hora, então a mosca terá que ter voado 30 quilômetros. Em vez disso, elas acham que precisam somar uma série infinita para chegar ao resultado.
— Mas foi isso que eu fiz — respondeu von Neumann.

Problema, solução e novo problema

Cada solução para um problema cria inevitavelmente um novo problema. Esse ponto de vista lamentavelmente derrotista inspirou o seguinte ditado:

A principal causa dos problemas são as soluções.

Em julho de 1968, Eric Sevareid escreveu um artigo na revista "The Progressive" sobre a popularidade das máquinas fotocopiadoras. Esses dispositivos começavam a desempenhar a tarefa útil de multiplicar o texto e as imagens exibidas em folhas de papel. Infelizmente, as cópias também encorajaram o consumo excessivo de papel.

Os pensadores mais sombrios, entretanto, não acreditam que nada sério possa ser feito até que o mundo fique sem árvores para a produção de papel. Isso, é claro, criará outros problemas, mas essa é a natureza do progresso.

O sumo problema do sumô

Sumo wrestling gone wrong (gif)

http://www.bitsandpieces.us/2015/12/15/sumo-problem/ (vídeo)

No Japão,
se um lutador de sumô fizer o seu bebê chorar, é sinal de boa sorte.

Improbable Research
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1090513811000705

Delimitando o problema

Aparentemente Jonas era o problema.

O problema da coincidência dos aniversários

A pergunta é a seguinte: em um grupo de N pessoas, qual é a probabilidade de ter pelo menos 2 dessas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia?
Poderia se imaginar que, para haver boas chances de coincidência em datas de aniversário, precisaríamos ter algo em torno de 100 ou. quem sabe, 200 pessoas. Afinal, o ano tem 365 (ou 366) dias. A surpresa da conta é que as chances de haver pelo menos 2 aniversariantes no mesmo dia é alta mesmo para grupos muito menores.
Eis as probabilidades para alguns tamanhos de N:
1= 0%
2 = 0,3%
5 = 2,7%
10 = 12%
20 = 41%
30 = 71%
40 = 89%
50 = 97%
60 = 99%
A partir de N =23 a probabilidade de haver a coincidência é maior que a probabilidade de ela não ocorrer.
É um problema bastante interessante, cuja resposta costuma trazer surpresa às pessoas e que já tem sido bastante explorado em alguns livros didáticos de matemática. O interessante é que pode ser aplicado em sala de aula como uma ótima introdução e motivação para o estudo das probabilidades. Ilydio Pereira de Sá
N. do E.
Para os extraterrestres essas contas tem que ser refeitas. A propósito desta afirmação, ler: Sua idade em outros planetas.

A paz interior

O caminho da paz interior começa com três palavras:

NÃO MEU PROBLEMA

Ver também: Macacos performáticos

Gato e ratos

- Se um gato pode matar um rato em um minuto, em quanto tempo esse gato mataria 60.000 ratos?

- Ah, quanto tempo, de fato? Os ratos matariam o gato.

Como casar com a mulher certa (2)

Parte 1

Parte 2 - A solução matemática
Ela funciona quando você tem uma lista de potenciais esposas, maridos, candidatos a emprego etc.
As regras são simples:
Você começa com uma situação, na qual há um número fixo de opções (se, por exemplo, você vive em uma cidade pequena e não há mulheres em número ilimitado para cortejar), para que você faça uma lista - essa é a sua lista final - de candidatas a serem entrevistadas. Mais uma vez, o que eu estou prestes a descrever nem sempre produz um resultado feliz, embora o obtenha com maior freqüência do que ocorreria de forma aleatória. Para os matemáticos, isso é o suficiente.
Eles ainda têm um nome para ela.
Na década de 1960, foi chamada (a la Kepler) de "The Marriage Problem". Mais tarde, foi apelidado por Martin Gardner de The Secretary Problem.
Alex Bellos escreve:
"Imagine que você pretende entrevistar 20 pessoas para escolher a sua secretária (ou o seu cônjuge) com a regra de que você deve decidir, no final de cada entrevista, se deve ou não dar a esse candidato o emprego Se você oferece o trabalho para alguém do jogo, não pode mais entrevistar os outros. E, se você não tiver escolhido qualquer um, no momento em que vê o último candidato, você deve oferecer o trabalho a ela", escreve Alex (não assumindo que todos os secretários sejam mulheres - ele está apenas se adaptando aos costumes do início dos anos 60).
Então, lembre-se:
No final de cada entrevista, você faz uma proposta ou segue em frente. Se você não fizer uma proposta, não vai voltar. E, depois que fizer uma proposta, o jogo acaba.
De acordo com Martin Gardner, que descreveu a fórmula em 1960, a melhor maneira de proceder é entrevistar os primeiros 36,8 por cento dos candidatos. Não contratar (ou casar com) qualquer um deles, mas assim que você encontrar um candidato melhor do que o melhor do primeiro grupo - é o que você deve escolher! Sim, o very best pode até aparecer nesses 36,8 por cento - caso em que você se obriga a ficar com o segundo melhor -  mas ainda assim, se você gosta de probabilidades favoráveis, este é o melhor caminho a percorrer.
Por que 36,8 por cento?
A resposta envolve um número que os matemáticos chamam de "e" - que, reduzido a uma fração 1 / e = 0,368 ou 36,8 por cento. Os detalhes específicos estão no livro de Alex, mas, aparentemente, esta fórmula revelou-se efetiva em todos os tipos de situações controladas. Embora não garanta a felicidade ou satisfação, dá-lhe uma chance de 36,8 por cento, - a qual, em um campo de 11 possíveis esposas, é uma boa taxa de sucesso.

O que teria acontecido se Johannes Kepler tivesse usado a fórmula?
Bem, ele teria entrevistado sem fazer oferta os primeiros 36,8 por cento de sua amostra. Num grupo de 11 senhoritas isso representa as quatro primeiras candidatos. Mas, no momento em que ele tivesse conhecido alguém (como a senhorita Nº 5) de que ele gostasse mais do que qualquer outra do primeiro grupo, ele teria dito: "Quer casar comigo?"
Na vida real, após um período de reflexão, Johannes Kepler cortejou e casou-se com a quinta mulher.
A forma como Alex descreve, se Kepler já soubesse desta fórmula (que hoje é um exemplo de que os matemáticos chamam de "optimal stopping"), ele poderia ter ignorado o último lote de candidatas e, no fim das contas, ter-se livrado de seis más opções.
Mas Kepler, em vez disso, seguiu seu coração (o que, naturalmente, é outra opção tolerável, mesmo para grandes matemáticos). E seu casamento com a senhorita Nº 5, aliás, acabou por ser muito feliz.

How To Marry The Right Girl: A Mathematical Solution, por Robert Krulwich

Uma experiência cearense
A SENHORITA E

Como casar com a mulher certa

Robert Krulwich

Pobre Johannes Kepler. Um dos maiores astrônomos de todos os tempos, o homem que descobriu as leis do movimento planetário, um gênio, erudito e matemático. Em 1611, ele estava precisando de uma nova esposa. A Sra. Kepler tinha morrido de febre maculosa húngara. Com filhos para criar e uma casa para gerenciar, ele decidiu conferir algumas candidatas, mas não estava indo muito bem.
Sendo um homem organizado, ele entrevistou onze mulheres. E, como Alex Bellos descreve em seu livro "The Grapes of Math", Kepler anotou suas impressões sobre as candidatas em um catálogo de pequenas decepções.
A primeira candidata, escreveu ele, tinha "uma respiração fedorenta".
A segunda "tinha sido criado num luxo acima de suas posses". Ela tinha gostos caros. Não era promissora.
A terceira estava noiva de um homem – definitivamente um problema. Além disso, de um homem que tivera um filho com uma prostituta. Muito complicado.
A quarta mulher era agradável ao olhar - de "alta estatura e porte atlético"...
Mas Kepler queria ainda checar a quinta, que ele achou "modesta, frugal, diligente e capaz de amar os enteados", só que ele hesitou. Ele hesitou por tanto tempo, que a no. 4 e a no. 5 ficaram impacientes e saíram do páreo, deixando-o com a n.º 6, que o assustou. Ela era uma grande dama, e ele "temia as despesas de um suntuoso casamento..."
A sétima era muito atraente. Ele gostava dela. Mas como ainda não tinha concluído a lista, ele a manteve em compasso de espera, e ela não era do tipo de esperar. Ela rejeitou-o.
Quanto à oitava, ele não se interessou muito por ela, embora achasse a mãe dela "uma pessoa muito digna..."
A nona era muito doente, a décima "tinha uma forma inadequada mesmo para um homem de gostos simples", e a décima primeira era muito jovem.
O que fazer? Avaliara e cortejara todas aquelas pretendentes apenas para concluir que, talvez, ele tivesse feito tudo do modo errado.
"Foi a Divina Providência ou a minha própria consciência", escreveu ele, "que, por dois anos ou mais, me conduziu a tantas direções diferentes e me fez considerar a possibilidade de uniões tão diversas?"
Na vida real, após um período de reflexão, Johannes Kepler voltou a cortejar a quinta mulher e, em seguida, casou com ela.
Ele poderia ter ignorado o último lote de senhoras e ter-se livrado de encontros desnecessários, caso houvesse adotado a solução matemática. Em vez disso, ele apenas seguiu o seu coração (o que, naturalmente, é uma opção tolerável mesmo para grandes matemáticos).
Seu casamento com a no. 5, aliás, acabou por ser muito feliz.

Tradução: PGCS

Quartos separados

Nove lobos compartilham um território comum em um zoológico. Como dividir o território usando apenas dois quadrados para que cada animal tenha seu espaço exclusivo?

Clique aqui para ver a solução.

Triângulo-Círculo-Triângulo

Qual é a relação entre os dois triângulos?

Resposta: 4:1

EXPLICAÇÃO

Pura matemática

Uma mãe é 21 anos mais velha que o filho. Daqui a 6 anos a mãe terá uma idade 5 vezes maior que o filho.
Pergunta: Onde está o pai agora?
Há que fazer alguns cálculos para obter a resposta.
Solução:
Analisando hoje:
Adotamos a idade da mãe como sendo = Y anos e adotamos a idade do menino como sendo = X anos.
Portanto, como a mãe é 21 anos mais velha, temos: Y = X + 21
Daqui a 6 anos, ou seja: ( Y + 6 ) e ( X + 6 ):
A mãe terá a idade 5 vezes maior que a do filho, ou seja: Y + 6 = 5 ( X + 6 )
Resolvendo a equação, temos: Y + 6 = 5 X + 30
Y = 5X + 24
Se substituirmos o valor acima de Y na primeira equação (Y = X+ 21), teremos: 5X + 24 = X + 21
5X - 1X = 21 - 24
Logo: 4X = -3
X = - 3/4
O menino tem hoje -3/4 anos, ou seja, - 9 meses (menos nove meses!).
A resposta é lógica:
Se o menino tem exatos menos 9 meses, ele nascerá daqui a nove meses, então a resposta do problema proposto é...
O PAI ESTÁ COMENDO A MÃE ENQUANTO VOCê ESQUENTA A CABEÇA!!!

Enviado por Luciano Gurgel. Fonte: web

Bônus

A MATEMÁTICA DA VIDA, Blog do Marcelo Gurgel

A vila das ruas pintadas

Cada rua nesta vila tem mão única e está pintada de vermelho ou azul.
Isto produz um efeito interessante:
Se você fizer, a partir de uma das casas, o percurso na sequência azul-vermelho-vermelho, três vezes, vai chegar sempre à casa amarela. Se você, porém, seguir a sequência azul-azul-vermelho, três vezes, vai chegar sempre à casa verde.

Greg Ross, Futility Closet

Franqueza

ACHE O LIMITE

Querida Matemática,
Eu não quero resolver seus problemas. Eu já tenho meus próprios problemas para resolver.

Via

A ratoeira

Um rato, olhando pelo buraco na parede, vê o fazendeiro e sua esposa abrindo um pacote. Pensou logo no tipo de comida que poderia haver ali. Ao descobrir que era uma ratoeira ficou aterrorizado. Correu ao pátio da fazenda advertindo a todos:
- Há uma ratoeira na casa, uma ratoeira na casa!
A galinha, disse:
- Desculpe-me Sr. Rato, eu entendo que isso seja um grande problema para o senhor, mas não me prejudica em nada, não me incomoda.
O rato foi até o porco e lhe disse:
- Há uma ratoeira na casa, uma ratoeira!
- Desculpe-me Sr. Rato, disse o porco, mas não há nada que eu possa fazer, a não ser rezar. Fique tranquilo que o senhor será lembrado em minhas preces.
O rato dirigiu-se, então, à vaca.
- Há uma ratoeira na casa, uma ratoeira!
A vaca respondeu:
- O quê, Sr. Rato? Uma ratoeira? Por acaso estou em perigo? Acho que não!
Então, o rato voltou para a casa, cabisbaixo e abatido, para encarar a ratoeira do fazendeiro. Naquela noite ouviu-se um barulho, como o de uma ratoeira pegando sua vítima.A mulher do fazendeiro correu para ver o que havia pego. No escuro, ela não viu que a ratoeira havia pego a cauda de uma cobra venenosa. E a cobra picou a mulher.
O fazendeiro a levou imediatamente ao hospital. Ela voltou com febre.
Todo mundo sabe que para alimentar alguém com febre, nada melhor do que uma canja de galinha. O fazendeiro pegou seu cutelo e foi providenciar o ingrediente principal.
Como a doença da mulher continuava, os amigos e vizinhos vieram visitá-la.
Para alimentá-los, o fazendeiro matou o porco.
A mulher não melhorou e acabou morrendo. Muita gente veio para o funeral. O fazendeiro então sacrificou a vaca, para alimentar todo aquele povo.
Na próxima vez que você ouvir dizer que alguém está diante de um problema e achar que este não lhe diz respeito, lembre-se de que, quando há uma ratoeira na casa, toda a fazenda corre risco.
O problema de um pode ser de todos.

Fonte: internet