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01 junho, 2026

O quadrado mágico de Lo Shu

É o único quadrado mágico de ordem três que pode ser formado com os dígitos de 1 a 9. 
Lendas chinesas sobre o imperador pré-histórico Yu contam a história do Lo Shu:
Na China antiga, houve um grande dilúvio: o povo ofereceu sacrifícios ao deus de um dos rios inundantes, o rio Luo, para tentar acalmar sua ira. Uma tartaruga mágica emergiu da água com o curioso e decididamente antinatural (para um casco de tartaruga) padrão Lo Shu em sua carapaça: pontos circulares representando os números inteiros de um a nove em algarismos unários (base 1), dispostos em uma grade de três por três.
. 

Em algarismos arábicos, sua representação é assim:
Os números pares e ímpares se alternam na periferia do padrão Lo Shu; os 4 números pares estão nos quatro cantos, e os 5 números ímpares (superando os números pares em um) formam uma cruz no centro do quadrado. As somas em cada uma das 3 linhas, em cada uma das 3 colunas e em ambas as diagonais são todas 15 (o número de dias em cada um dos 24 ciclos do ano solar chinês).

24 junho, 2021

O quadrado bimágico

O primeiro quadrado bimagico no mundo foi criado por G. Pfeffermann, na França. Esse quadrado de 8x8 foi publicado em uma revista francesa, "Les Tablettes du Chercheur", em 15 de janeiro de 1891, com apenas a metade dos seus números, como sendo um quebra-cabeça para os leitores. A solução (e, portanto, o primeiro quadrado bimagico completo) só foi publicada na edição seguinte da revista, em 1.º de fevereiro de 1891.
Aqui está o quebra-cabeça solucionado:


Requisitos para o quadrado bimágico:
- os números formam um quadrado mágico;
- se substituídos por seus quadrados, os números ainda formam um quadrado mágico.

Arquivo
http://blogdopg.blogspot.com/2016/01/geometria-e-arte-combinadas.html
http://blogdopg.blogspot.com/2017/10/selos-com-quadrados-magicos.html
http://blogdopg.blogspot.com/2017/11/o-quadrado-magico-de-macau.html
http://blogdopg.blogspot.com/2018/05/quadrados-magicos-com-numeros-primos.html

31 maio, 2018

Quadrados mágicos com números primos

Número primo é um número natural que tem exatamente dois divisores positivos e distintos. São eles o número 1 e o próprio número.
Os números naturais que admitem três ou mais divisores dizem-se números compostos.
Convencionou-se que 1 (a unidade) não é nem um número primo nem um número composto.
Tabela até 1000, hypatiaMAT

Primícias
Os matemáticos tentaram em vão até hoje descobrir alguma ordem na sequência dos números primos, e temos razões para acreditar que é um mistério no qual a mente humana jamais penetrará.
~ Leonhard Euler
Cada número primo maior do que três é +1 ou -1 de um múltiplo de seis.
~ Pat Ballew

Quadrados mágicos
O primeiro a discutir o problema da construção quadrados mágicos com números primos foi Henry Ernest Dudeney.
Em 1900, ele construiu este quadrado mágico que dá a menor soma possível (= 111) para um 3x3 em que usou números primos (assumindo que 1 é primo).
O menor quadrado mágico com primos verdadeiros (não usando 1) tem uma constante mágica de 177.
Boa sorte.
~ Christian Boyer, Multimagic Squares

Bônus
- Por que o 3 não quer casar com o 7?
- Não faço ideia. Por quê?
- É que eles são primos.
- Uma pena. Eles formariam um casal 10.

Ver também
Hexágono mágico

01 novembro, 2017

O quadrado mágico de Macau

A origem do Luo Shu (洛書) ou "Livro do Luo", ou "Pergaminho do Rio Luo", é desconhecida.
Trata-se de um diagrama gravado em uma superfície oval, possivelmente um casco de tartaruga que foi encontrado às margens do Rio Luo pelo rei Da Yü por volta de 2.200 a.C.
O diagrama original é formado por 9 conjuntos de círculos brancos (Yang) ou pretos (Yin) dispostos em arranjos que representam geometricamente os números de 1 a 9, e que ocupam posições determinadas entre si: os números pares e ímpares se alternam na periferia do Luo Shu, sendo que os pares ocupam os quatro cantos, e os ímpares se localizam de modo a formar uma cruz nas partes centrais das laterais do diagrama.
Mais tarde, a forma de representar o Luo Shu evoluiu para um quadrado subdividido em nove pequenos quadrados, denominados Nove Palácios, cada um deles ocupado por um número. Atualmente o diagrama é conhecido como Quadrado Mágico de 3 x 3, nome este relacionado ao fato de que a soma de qualquer uma das linhas, colunas e diagonais é sempre 15.
A partir dos ensinamentos do Luo Shu, o rei Da Yü instituiu um sistema de produção agrícola em que as áreas de plantio eram divididas em nove partes iguais e colocadas sob os cuidados de oito famílias que, em mutirão, cultivavam e colhiam coletivamente essas nove áreas, sendo que o produto da área central pertencia ao governo, a título de imposto, e o resto era dividido pelas oito famílias.
De maneira análoga, Da Yü dividiu seu reino em nove estados, que se relacionavam de forma federativa, cada um deles com um governador, sendo que o governo real ocupava o estado do centro e administrava o conjunto dos estados através de nove ministérios.


A configuração matemática hoje conhecida por Luo Shu deu o mote a uma série filatélica que já valeu aos Correios da RAEM (Região Administrativa Especial de Macau) reconhecimento internacional. Louvada pelo diário britânico The Guardian pela originalidade, a emissão é composta por nove selos, cada um apetrechado com um quebra-cabeças distinto e um convite à reflexão.
Fontes
https://artesdotao.com/2013/12/05/luo-shu-diagrama-do-padrao-de-mudanca-energetica-no-espaco-tempo/
http://www.revistamacau.com/2015/04/13/quadrado-magico-filatelia-para-genios/


Notar que o selo de 12 patacas(em que Luo Shu foi o destaque), além da tartaruga ao fundo, tem palavras em português. Macau é uma das regiões administrativas especiais da República Popular da China, desde 20 de dezembro de 1999, sendo a outra Hong Kong. Antes desta data, Macau foi colonizada e administrada por Portugal durante mais de 400 anos e é considerada o primeiro entreposto, bem como a última colônia europeia na Ásia.

09 outubro, 2017

Selos com quadrados mágicos

9 de outubro de 2014
Os Correios de Macau, República Popular da China, emitiram uma série de selos com base em quadrados mágicos.
A figura abaixo mostra os seis quadrados mágicos que foram escolhidos para a coleção.

Pat's Blog
O quadrado mágico de Durero, o mais famoso deles, é o que tem o valor 400.

Sobrescrito e subscrito
Muitas vezes, principalmente quando trabalhamos com números, necessitamos de utilizar caracteres sobrescritos ou subscritos.
Caracteres sobrescritos ficam acima da base da linha e caracteres subscritos ficam abaixo.
Não existe uma forma de criarmos este efeito diretamente pelo teclado, portanto, devemos formatar tais caracteres para que o browser os renderize acima da linha ou abaixo.
Em HTML/XHTML quem faz esse papél são as tags SUP e SUB, sendo SUP sobrescrito e SUB subscrito.

10 janeiro, 2016

Geometria e arte, combinadas

Os padrões geométricos da beleza e a beleza dos padrões geométricos são aqui explorados em Ars Qubica.
Nesta apresentação, um dos elementos recorrentes é a repartição regular do plano, modalidade em que M.C. Escher foi um gênio, e outro é o quadrado mágico, no qual os grupos de números somam sempre o mesmo valor na vertical, na horizontal e na diagonal.
Escher: [1] [2] [3]



O quadrado mágico mais famoso é o de Alberto Durero, gravado em sua obra Melancolia I, de 1514. Outro, admirado pela dimensão e complexidade, é o mastodôntico quadrado mágico de Jorge Loyaza, de 20 x 20, em que os números de 1 a 400 somam em todas as direções 1410.

09 setembro, 2015