A descoberta dos números incomensuráveis

A Escola Pitagórica descobriu a existência de números irracionais, isto é, números que não eram naturais (1,2,3, ...), ou inteiros (...- 3, -2, -1,0,1,2,3 , ...) nem racionais (frações de números inteiros).
Eles chamaram esses números de incomensuráveis.
É possível que essa descoberta tenha ocorrido ao tentar resolver o seguinte problema:
Se traçarmos um quadrado cujo lado mede a unidade, isto é, 1, e tentarmos calcular o que mede a diagonal usando o Teorema de Pitágoras, poderemos dividir o quadrado em dois triângulos cuja hipotenusa será a diagonal d do quadrado. Em resumo, teremos dois triângulos retangulares iguais com catetos que medem 1.
Se aplicarmos agora o Teorema de Pitágoras, verificaremos o seguinte desenvolvimento de d na relação pitagórica.

O número √2  é irracional (com decimais não periódicos infinitos).
Os pitagóricos ficaram muito surpresos com a existência desses números "tão raros" que contradiziam sua doutrina que defendia a adoração do número como a entidade perfeita que governava o universo e tudo o que existia nele.
Aparentemente, decidiram manter em segredo a descoberta que mostrava a fragilidade de suas crenças, executando um dos membros que traiu a seita revelando a descoberta.
In: Los pitagóricos y los números irracionales
Hipaso de Metaponto
Foi um filósofo pré-socrático, membro da Escola pitagórica. Nasceu em torno do ano 500 a.C. em Metaponto, cidade grega da Magna Grécia situada no Golfo de Tarento, ao sul do que agora é a Itália. Os documentos da época dão versões diferentes para seu final (afogamento, suicídio, banimento...).
A descoberta de razões incomensuráveis é atribuída a Hipaso de Metaponto (séc. V a.C.). Supõe-se que os pitagóricos estavam no mar naquele momento e lançaram Hipaso para fora do barco por ter produzido um elemento no universo que negava a doutrina pitagórica de que todos os fenômenos do universo podem ser reduzidos a números inteiros ou suas razões.
Assim, "a descoberta da existência de números irracionais foi surpreendente e perturbadora para os pitagóricos. [...] Tão grande foi o 'escândalo lógico' que, por algum tempo, foram feitos esforços para manter a questão em sigilo, e há uma lenda que conta que o pitagórico Hipaso (ou um outro talvez) foi lançado ao mar pela ação ímpia de revelar o segredo a estranhos ou (de acordo com outra versão) que ele foi banido da comunidade pitagórica, sendo-lhe erigido um túmulo, como se estivesse morto.
In: Revisitando a descoberta dos incomensuráveis na Grécia Antiga, por Carlos Gonçalves e Claudio Possani
Segundo a lenda, um dos seguidores de Pitágoras, Hipaso de Metaponto, provou, especificamente, que a diagonal de um quadrado unitário (um quadrado com lados valendo uma unidade) é irracional: não é uma fração exata. Conta-se que (as fontes são duvidosas, mas a história é boa) ele cometeu o erro de anunciar esse fato quando os pitagóricos estavam atravessando o Mediterrâneo de barco, e seus colegas de seita ficaram tão exasperados que o lançaram ao mar e ele se afogou. O mais provável é que tenha sido simplesmente expulso da seita. Qualquer que tenha sido sua punição, ao que parece os pitagóricos não ficaram nada satisfeitos com a descoberta.
A interpretação moderna da observação de Hipaso é que é irracional. Para os pitagóricos, esse fato brutal era um golpe decisivo em sua crença praticamente religiosa de que o Universo se baseava em números – referindo-se aqui a números inteiros. Frações – razões entre números inteiros – se encaixavam bastante bem nessa visão de mundo, mas o mesmo não acontecia com números que provavelmente não eram frações. E assim, afogado ou expulso, o pobre Hipaso tornou-se uma das primeiras vítimas da irracionalidade, por assim dizer, da crença religiosa.
In: Em busca do infinito, por Ian Stewart